南宋杨辉是杭州人，是南宋著名的数学家。关于杨辉的出生年月和生平阅历没有详细的记载，只知道杨辉曾在南宋朝廷任职，多数时间都在苏州杭州一带。杨辉为官清廉而有正义感，深得百姓称颂。说起杨辉的贡献，不得不提的就是他在算数上的成就，后人将杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”。
杨辉数学成果
南宋杨辉一生写过很多著作，都是数学相关的理论知识。其中，他写有《详解九章算法》、《日用算法》、《乘除通变本末》、《田亩比类乘除捷法》等书籍。杨辉根据日常需要的运算总结出算法理论，帮助百姓们计算需求。值得一提的是，杨辉是世界上第一个排列纵横图，并且从中总结出构成规律的理论知识，推动了世界算术进程，具有很高的现实意义。杨辉生活年间，手工业和商业已经有了较大发展，社会经济得到提升的同时，商人和百姓们都需要用到数学计算。社会对算术的需求引发了杨辉的重视。
事实上，资本经济萌芽时期，就有数学家总结了日常计算方法。晚唐时期，出现可一些较为实用的计算书籍，到了南宋年间时，诸如《夏侯阳算经》等书籍已经失传了。随后，南宋杨辉在总结前人算术基础上，又总结出一种更为简单便捷的算法。所以，后人们在提到杨辉在数学方面的贡献时，也会想起他改进乘除计算技术，让运算更加便捷化和简单化。不仅提高了运算速度，也提高了准确率。
杨辉的故事
杨辉担任台州官吏时，一次，看着窗外春光无限好，杨辉便打算巡游台州。一边体察民情，一边欣赏美丽的春景，实在是一件很美妙的事情。杨辉坐在轿子中，看见大自然一片万物复苏的场景，心情非常愉悦。他撩起轿帘正在欣赏沿途的春光，突然轿子停住了。
《九章算术》欣赏
杨辉问侍卫为何立即停下，侍卫回答说，前方路上有个小男孩正蹲在不知在干什么。另一位侍卫急忙上前呵斥这位小男孩，让他赶紧让路。小男孩聚精会神地在地上比划，丝毫不听侍卫的命令。
随后，杨辉下轿来到小男孩身旁，摸着头问这位小男孩正在干什么。小男孩回答说，这是老师布置的一道算术，必须在下午上课之前算出来。如果你们的马从这儿经过的话，就将我的计算成果破坏了。杨辉一看，原来是九宫图，于是杨辉也蹲在地上，和小男孩一起计算。已经过了正午，俩人才将九宫格填满，无论横加竖加斜加，结果都是15。小男孩很感激杨辉帮忙，便邀请杨辉去他家吃饭。
到小男孩家之后，父母才说出了其中缘由，因家境贫困，父母没有多余的钱财供小男孩上课。小男孩乘放牛时偷偷地跑到私塾下听课，每天回家后，就努力回忆今天听到的知识。杨辉听后，给了小男孩父母十两银子，并让小男孩到私塾念书。下午杨辉带小男孩去私塾时，教书先生和杨辉聊起了数学问题。杨辉回到家后，常常投入数学演算中，并总结出九宫图规律，即为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。
杨辉的贡献
杨辉在总结前朝数学家的成果时，又极大地创新和发展了数学技术，推动了中国算术领域的进步。北宋时期出现了一种名为增成法的算术，杨辉理解其中的规律后，进一步完善了增成法的运算和适用范围。杨辉认为，增成法虽然在一定程度上避免了试商。
杨辉数学成果
但是被除数增多时，运算量不仅会加大，正确率也不高。杨辉在所著《乘除通变算宝》一书中，概括了简便的计算规律，比如“归数求成十”、“归数自上加”等，方便了百姓计算问题。
其次，杨辉在改进算术计算同时，提出了一些实用性很强的口诀。基于口诀的便捷化，算盘技术应运而生。所以，从客观上来讲，杨辉推进了算术进程，也间接衍生了算盘这一产物。
第三，杨辉对纵横图有了较深的理解，在他著有《续古摘奇算法》一书中，提出了纵横图的研究记录和算法，这部《续古摘奇算法》也成为世界上最早对纵横图有过理论研究的著作。纵横图是杨辉起的名字，在杨辉之前人们将纵横图称为幻方。汉代数学家郑玄在《易纬注》和《数术记遗》两书中，都有介绍幻方的生神奇之处。幻方因此被赋予了神秘的色彩。杨辉在《续古摘奇算法》中创作了多样图形，有四阶纵横图、百子图、“聚八”图、“攒九”图等。
除此之外，杨辉最大的贡献成果便是他对垛积术的研究。垛积术类似等差数列，和等差数列不同的是，垛积术针对的是高级等差数列的研究。随后，杨辉还总结了等差数列求和的公式。杨辉这一研究成果，极大地丰富了数学领域理论。
一、刘 徽
刘徽(生于公元250年左右)，是中国数学史上一个非常伟大的数学家。在世界数学史上，也占有杰出的地位。
二、贾 宪
贾宪，中国古代北宋时期杰出的数学家。增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的混合除法，其原理和程序均与此相仿。
二、秦九韶
秦九韶(约1202--1261)，字道古，四川安岳人。他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。早年在杭州，1247年写成著名的《数书九章》。
三、李冶
李冶，原名李治，号敬斋，金代真定栾城人，曾任钧州(今河南禹县)知事，1232年钧州被蒙古军所破，遂隐居治学，被元世祖忽必烈聘为翰林学士。
仅一年，便辞官回乡。
1248年撰成《测圆海镜》，其主要目的是说明用天元术列方程的方法。
四、朱世杰
《算术启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志。
五、祖冲之
祖冲之(公元429~500年)祖籍是现今河北省涞源县，他是南北朝时代的一位杰出科学家。
他不仅是一位数学家，同时还通晓天文历法、机械制造、音乐等领域，并且是一位天文学家。
祖冲之在数学方面的主要成就是关于圆周率的计算，他算出的圆周率3.1415926<π<3.1415927，
这一结果的重要意义在于指出误差的范围，是当时世界最杰出的成就。祖冲之确定了两个形式的π值。
六、祖暅
祖暅，同其父祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。现行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世纪可谓祖暅对世界杰出的贡献。
七、杨辉
杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。他著名的数学书共五种二十一卷。
杨辉在"纂类"中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。
八、赵爽
赵爽，东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家。据载，他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》。
他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》，该书是我国最古老的天文学著作，唐初改名为《周髀算经》该书写了序言，并作了详细注释。
九、朱世杰
朱世杰(1249年-1314年)，字汉卿，号松庭，汉族，燕山(今北京)人氏，元代数学家、教育家，毕生。
在学术界有"中世纪世界最伟大的数学家"之誉。朱世杰在当时天元术的基础上发展出"四术"，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。
十、徐光启
徐光启是首先把“几何“一词作为数学的专业名词来使用的，用它来称呼这门数学分科的。他所翻
译的欧几里得的《几何原本》。直到20世纪初，中国废科举、兴学校，以《几何原本》内容为主要内容的初等几何学方才成为中等学校必修科目。
扩展资料一、赵爽的故事
据载，他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”。
他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》，该书是我国最古老的天文学著作，唐初改名为《周髀算经》。
该书简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。
他解释了《周髀算经》中的勾股定理，将勾股定理表述为又给出了新的证明。
二、刘徽的故事
的思想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生。
在线性方程组解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”。
他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念，刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提。
他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上。
刘徽没有写出自成体系的著作，但他注《九章算术》所运用的数学知识，实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断其联系纽带的理论体系。
百度百科-刘徽
百度百科-赵爽
对天元术做出贡献的金代数学家有李冶、杨辉、秦九韶、朱世杰。
1、李冶
李冶（1192年—1279年），原名李治，字仁卿，自号敬斋，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人。金元时期的数学家。金正大末进士，辟知钧州。李冶在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”。
2、杨辉
杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今浙江省杭州）人，南宋杰出的数学家。他曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带。他在总结民间乘除捷算法、“垛积术”、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。还曾论证过弧矢公式，时人称为“辉术”。
3、秦九韶
秦九韶（1208年－1268年），字道古，汉族，祖籍鲁郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）。精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所。
4、朱世杰
朱世杰（1249年－1314年），字汉卿，号松庭，汉族，燕山（今北京）人氏。朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。此外他还创造出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术”，即高次内插法。
天元术的影响
天元术的出现，提供了列方程的统一方法，其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。而在欧洲，只是到了十六世纪才做到这一点。此外，宋代创立的增乘开方法又简化了求解数学高次方程正根的运算过程。因此，在这一时期，列方程和解方程都有了简单明确的方法和程式，中国古典代数学发展到了比较完备的阶段。
不仅如此，继天元术之后，数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组，如李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最后又由朱世杰创立了四元术。
对我国古代数学成就天元术的发展做出重要贡献的金代数学家是李冶。
李冶在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”。
扩展资料：
李冶的研究兴趣很广泛，涉及数学、文学、历史、哲学、医学等，他研究的领域既有社会科学的内容，又有自然科学的内容。他在崞县桐川隐居时，得到前人的一部算术，内有九容之说，专讲勾股容圆问题。李冶在桐川进行数学研究，是以天元术为主攻方向的，这时的天元术虽然已产生，但还不成熟。
他在九容之说的启发下把勾股容圆问题作为一个系统来研究，讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题。经过十年的研究，《测圆海镜》终于在1248年完成，这时，李冶已经56岁了。他花费了多年心血，使天元术达到相当完善的程度，是当时世界上第一流的数学著作，引起国外学者的重视并出版成书。
百度百科-李冶 （金元时期数学家、文学家、诗人）
杨辉，杭州人，南宋著名数学家。杨辉的出生年月和身世没有详细记载。据我所知，杨辉在南宋朝廷任职，大部分时间在苏杭。杨辉因其诚实和正义感而受到人们的称赞。说到杨辉的贡献，人们不得不提他在数学方面的成就。后人将杨辉、秦、朱世杰并称为“宋元四大家”。
杨辉的数学成就
杨辉在南宋时期创作了许多与数学理论有关的著作。其中写了《算法九章详解》、《日常使用算法》、《通过变化到书尾的乘法和除法》、《按类别划分字段的乘法和除法》等书。杨辉根据日常运营的需求总结出算法理论，帮助人们计算自己的需求。值得一提的是，杨辉是世界上整理纵横海图的第一人。他总结了构成规则的理论知识，推动了世界算术的进程，具有很高的现实意义。在杨辉的一生中，手工业和商业都有了很大的发展。社会经济推广时，商人和普通人都需要使用数学计算。社会对算术的需求引起了杨辉的注意。
其实数学家们在资本经济萌芽时期就总结出了日常的计算方法。晚唐出现了一些实用的计算书。到了南宋，像夏侯阳《计算经》这样的书已经失传了。后来南宋的杨辉在前人算法的基础上总结出了一种更简单方便的算法。所以人们提到杨辉对数学的贡献，也会想到他对乘除法的改进，使计算更加方便简单。既提高了运算速度，又提高了精度。
杨惠德的故事
杨辉在台州做官时，有一次望着窗外美丽的春光，打算去台州旅游。体察民情，欣赏春光明媚，是一件很美好的事情。坐在轿子里，杨辉很高兴看到大自然万物复苏。他掀开轿子的帘子，欣赏着沿途的春色，这时轿子停了下来。
升值
杨辉问门卫为什么马上停车。警卫回答说，前面路上蹲着一个小男孩。他不知道自己在做什么。另一名保镖冲上前去，冲着小男孩大喊，让他让路。小男孩在地上专注地打着手势，不听警卫的命令。
后来，杨辉下了车，来到小男孩身边，摸了摸他的头，问小男孩在干什么。小男孩回答说，这是老师定的算术，下午上课前必须算出来。如果你的马经过这里，会毁了我的计算。杨辉看到是九宫图，于是杨辉蹲在地上和小男孩一起数数。当这两个人填满九个正方形时，已经过了中午。无论纵横增加多少，结果都是15。小男孩感谢杨辉的帮助，并邀请杨辉去他家吃饭。
到了小男孩家后，家长给出了原因。因为家里穷，父母没有多余的钱供小男孩上课。放牛的时候，小男孩偷偷去了一所私塾上课。每天回家后，他都努力回忆今天听到的内容。杨辉听了，给了小男孩的父母12两银子，让小男孩上私塾。下午，当杨辉带着小男孩去一所私立学校时，老师和杨辉聊起了数学题。杨辉回国后，经常进行数学计算，总结出九宫图定律：“九子斜排，上下多变，左右相近，四维突出”。
杨辉的贡献
杨辉在总结前人代数成就的同时，努力创新和发展数学技术，推动了中国数学的进步。到了北宋，出现了一种叫增量法的算法。了解规律后，杨辉进一步完善了增量法的操作和适用范围。杨辉认为，虽然增量法在一定程度上避免了试交易。
杨辉的数学A
其次，杨辉在改进算术计算的同时，提出了一些实用的公式。基于公式的便利，珠算技术应运而生。所以客观来说，杨辉推动了算术进程，间接衍生出了珠算的产物。
第三，杨辉对纵横图的理解更深。他在《算术九章》一书中提出了纵横图的研究记录和算法。这本书，《乘除、变换与计算宝藏》，也成为世界上第一本对纵横图形进行理论研究的书。纵横图是杨惠琪的名字。在杨辉之前，人们称之为魔方。汉代数学家郑玄在他的两部著作《古代拣选算法的延续》和《古代拣选算法的延续》中介绍了幻方的魔力。因此，魔方被赋予了神秘的色彩。杨辉在《易朱未》年创作了各种图形，包括四阶纵横图形、百子图形、多8图形、多9图形等。
除此之外，杨辉最大的贡献是对堆垛技术的研究。堆叠类似于等差数列。与等差数列不同，叠加旨在高级等差数列研究。后来，杨辉还总结出了等差数列的求和公式。杨辉的研究成果极大地丰富了数学领域的理论。
李冶是金元时期的数学家 文学家 诗人。金亡北渡，常与元好问唱和，世称“元李”。晚年居于封龙山下，隐居讲学。
李冶在数学上的主要贡献是天元术，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。与杨辉 秦九韶 朱世杰并称为“宋元数学四大家”。
李冶的父亲李遹是位博学多才的学者，曾在大兴府尹胡沙虎手下任推官。李冶出生的时候，蒙古军队加紧向金代朝廷进攻，腐朽的朝廷内已潜伏着亡国的危机。
李遹的上司胡沙虎是一个深得金朝宠信的奸臣。李遹见他无恶不作，常常据理力争，置个人生死祸福于度外。李遹为了防备不测，便把老小送回故乡栾城。
这时李冶正值童年，他没有随家人回乡而独自到栾城的邻县元氏求学去了。由于胡沙虎篡权乱政，李遹被迫辞职，隐居阳翟，从此不再过问政事。
他吟诗作画，在当地颇有名声。
父亲的正直为人及好学精神对李冶深有影响。在李冶看来，学问比财富更可贵。他在青少年时期，对文学 史学 数学 经学都感兴趣，曾与好友元好问外出求学，拜文学家赵秉文 杨云翼为师，不久便名声大振。
1230年，李冶赴洛阳应试，被录取为词赋科进士，时人称赞他“经为通儒，文为名家”。
1232年农历正月，钧州城被蒙古军队攻破。李冶不愿投降，只好换上平民服装，走上了漫长而艰苦的流亡之路。这是他一生的重要转折点，将近50年的学术生涯便由此开始了。
李冶经过一段时间的颠沛流离之后，定居于现在山西省崞山的桐川。由于他不再为官，这在客观上使他的科学研究有了充分的时间。他在桐川的研究工作是多方面的，包括数学 文学 历史 天文 哲学 医学。
李冶在桐川的生活条件是十分艰苦的，不仅居室狭小，而且常常不得温饱，要为衣食而奔波。但他却以著书为乐，从不间断自己的写作。
李冶的数学研究是以天元术为主攻方向的。这时天元术虽已产生，但还不成熟，就像一棵小树一样，需要人精心培植。李冶在前人的基础上，将天元术改进成一种更简便而实用的方法。
特别值得一提的是，他在桐川得到了道教洞渊派的一部算书，内有九容公式，专讲勾股容圆问题的内容。此书对他启发甚大。为了能全面 深入地研究天元术，李冶把勾股容圆问题作为一个系统来研究。
李冶讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题，经过多年的艰苦奋斗，终于在l248年写成《测圆海镜》12卷。这是他一生中的最大的成就，也是我国现存最早的一部系统讲述天元术的著作。
《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，而且给出一批新的求圆径公式。其主要成就是总结并完善了天元术，使之成为我国独特的半符号代数。这种半符号代数的产生，要比欧洲早三百年左右。卷1的“识别杂记”阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系，共600余条，每条可看做一个定理或公式。这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结。
后面各卷的习题，都可以在“识别杂记”的基础上以天元术为工具推导出来。李冶总结出一套简明实用的天元术程序，并给出化分式方程为整式方程的方法。他发明了负号和一套先进的小数记法，采用了从0至9的完整数码。除O以外的数码古已有之，是筹式的反映。但筹式中遇O空位，没有符号O。从现存古算书来看，李冶的《测圆海镜》和秦九韶《数书九章》是较早使用O的两本书，它们成书的时间相差不过一年。
《测圆海镜》重在列方程，对方程的解法涉及不多。但书中用天元术导出许多高次方程，给出的根全部准确无误，可见李冶是掌握高次方程数值解法的。
《测圆海镜》在体例上也有创新。全书基本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需的定义 定理 公式，后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来。李冶之前的算书，一般采取问题集的形式，各章 卷内容大体上平列。李冶以演绎法著书，这是我国数学史上的一个进步。
《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，对后世有深远影响。元代王恂 郭守敬在编《授时历》的过程中，曾用天元术求周天弧度。元代大数学家朱世杰说:“以天元演之 明源活法，省功数倍。”清代著作家阮元认为:“立天元者，自古算家之秘术;而海镜者，中土数学之宝书也。”
《测圆海镜》无疑是当时世界上第一流的数学著作。但由于内容较深，粗知数学的人看不懂，所以天元术的传播速度较慢。
李冶清楚地看到这一点，他坚信天元术是解决数学问题的一个有力工具，同时深刻认识到普及天元术的必要性。于是，他在1259年写成另一部数学著作《益古演段》，这是一本普及天元术的著作。
《益古演段》把天元术用于解决实际问题，研究对象是日常所见的方 圆面积。全书64题，处理的主要是平面图形的面积问题，所求多为圆径 方边 周长之类。除4道题是一次方程外，其他全是二次方程问题，内容安排基本上是从易到难。
此时的李冶对天元术的运用更加熟练，他在《益古演段》中常用人们易懂的几何方法对天元术进行验证，这对于人们接受天元术是有好处的。
在数学理论上，《益古演段》也有创新。该书的问题同《测圆海镜》不同，所求量不是一个而是两个 三个甚至四个。按古代方程理论，应该用方程组来解，所含方程个数与所求量个数一致。但解二次方程组要比解一元方程困难得多。
李冶既已完善了天元术程序，便力图提高它的一般化程度，用以解决各种多元问题。他的主要方法是利用出入相补原理及等量关系来减少未知数，化多元为一元，找到关键的天元一。一旦这个天元一求出来，其他要求的量就可根据与天元一的关系，很容易求出了。《益古演段》的价值不仅在于普及天元术，理论上也有创新。李冶善于用传统的出入相补原理及各种等量关系来减少题目中的未知数个数，化多元问题为一元问题。同时，李冶在解方程时采用了设辅助未知数的新方法，以简化运算。
《益古演段》图文并茂，深入浅出，不仅利于教学，也便于自学。这些特点，使它成为一本深受人们欢迎的数学教材，对天元术的传播发挥了不小的作用。
测圆海镜
杨辉，杭州人，南宋著名数学家。杨辉的出生年月和身世没有详细记载。据我所知，杨辉在南宋朝廷任职，大部分时间在苏杭。杨辉因其诚实和正义感而受到人们的称赞。说到杨辉的贡献，人们不得不提他在数学方面的成就。后人将杨辉、秦、朱世杰并称为“宋元四大家”。
杨辉的数学成就
杨辉在南宋时期创作了许多与数学理论有关的著作。其中写了《算法九章详解》、《日常使用算法》、《通过变化到书尾的乘法和除法》、《按类别划分字段的乘法和除法》等书。杨辉根据日常运营的需求总结出算法理论，帮助人们计算自己的需求。值得一提的是，杨辉是世界上整理纵横海图的第一人。他总结了构成规则的理论知识，推动了世界算术的进程，具有很高的现实意义。在杨辉的一生中，手工业和商业都有了很大的发展。社会经济推广时，商人和普通人都需要使用数学计算。社会对算术的需求引起了杨辉的注意。
其实数学家们在资本经济萌芽时期就总结出了日常的计算方法。晚唐出现了一些实用的计算书。到了南宋，像夏侯阳《计算经》这样的书已经失传了。后来南宋的杨辉在前人算法的基础上总结出了一种更简单方便的算法。所以人们提到杨辉对数学的贡献，也会想到他对乘除法的改进，使计算更加方便简单。既提高了运算速度，又提高了精度。
杨辉的贡献
杨辉在总结前人代数成就的同时，努力创新和发展数学技术，推动了中国数学的进步。到了北宋，出现了一种叫增量法的算法。了解规律后，杨辉进一步完善了增量法的操作和适用范围。杨辉认为，虽然增量法在一定程度上避免了试交易。
杨辉的数学成就
但当分红增加时，计算量不仅会增加，而且精度也不高。杨辉在《乘除、变换与计算宝藏》一书中总结了简单的计算规则，如“退货数为10”、“退货数自上而下相加”，方便普通人计算。
其次，杨辉在改进算术计算的同时，提出了一些实用的公式。基于公式的便利，珠算技术应运而生。所以客观来说，杨辉推动了算术进程，间接衍生出了珠算的产物。
第三，杨辉对纵横图形的理解更深。他在《古代拣选算法的延续》一书中提出了纵横图的研究记录和算法。这本书，《古代拣选算法的延续》，也成为世界上第一本对纵横图形进行理论研究的书。纵横图是杨惠琪的名字。在杨辉之前，人们称之为魔方。汉代数学家郑玄在他的两部著作《易朱未》和《舒舒集易》中介绍了幻方的魔力。因此，魔方被赋予了神秘的色彩。杨辉在《续古算法》年创作了各种图形，包括四阶纵横图形、百子图形、多8图形、多9图形等。
除此之外，杨辉最大的贡献是对堆垛技术的研究。堆叠类似于等差数列。与等差数列不同，叠加旨在高级等差数列研究。后来，杨辉还总结出了等差数列的求和公式。杨辉的研究成果极大地丰富了数学领域的理论。
杨惠德的故事
杨辉在台州做官的时候，有一次望着窗外美丽的春光，打算去台州旅游。体察民情，欣赏春光明媚，是一件很美好的事情。坐在轿子里，杨辉很高兴看到大自然万物复苏。他掀开轿子的帘子，欣赏着沿途的春色，这时轿子停了下来。
升值
杨辉问th
后来，杨辉下了车，来到小男孩身边，摸了摸他的头，问小男孩在干什么。小男孩回答说，这是老师定的算术，下午上课前必须算出来。如果你的马经过这里，会毁了我的计算。杨辉看到是九宫图，于是杨辉蹲在地上和小男孩一起数数。当这两个人填满九个正方形时，已经过了中午。无论纵横增加多少，结果都是15。小男孩感谢杨辉的帮助，并邀请杨辉去他家吃饭。
到了小男孩家后，家长给出了原因。因为家里穷，父母没有多余的钱供小男孩上课。放牛的时候，小男孩偷偷去了一所私塾上课。每天回家后，他都努力回忆今天听到的内容。杨辉听了，给了小男孩的父母12两银子，让小男孩上私塾。下午，当杨辉带着小男孩去一所私立学校时，老师和杨辉聊起了数学题。杨辉回国后，经常进行数学计算，总结出九宫图定律：“九子斜排，上下多变，左右相近，四维突出”。
朱世杰是元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。有“中世纪世界最伟大的数学家”、“贯穿古今的一位最杰出的数学家”之誉。与秦九韶、杨辉、李冶并称为“宋元数学四大家”。
朱世杰的著作《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是我国宋元时期数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有“四元术”、“垛积法”与“招差术”。
朱世杰的青少年时代，大约相当于蒙古灭金之后。元统一全国后，朱世杰曾以数学家的身份周游各地20余年，向他求学的人很多。他到广陵时，史载“踵门而学者云集”。
就当时的数学发展情况而论，在河北南部和山西南部地区，出现了一个以“天元术”为代表的数学研究中心。
当时的北方，正处于天元术逐渐发展成为二元、三元术的重要时期，朱世杰较好地继承了当时北方数学的主要成就，他把“天元术”这一成就拓展为“四元术”。
朱世杰除继承和发展了北方的数学成就之外，还吸收了当时南方的数学成就，比如各种日用、商用数学和口诀、歌诀等。
朱世杰在经过长期游学、讲学之后，全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术及通俗歌诀等，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，又写成四元术的代表作《四元玉鉴》，先后于1299年和1303年刊印。
《算学启蒙》全书共3卷，20门，总计259个问题和相应的解答。这部书从乘除运算起，一直讲至当时数学发展的最高成就“天元术”，全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。
卷上共分为8门，收有数学问题113个。其内容为：乘数为一位数的乘法、乘数首位数为一的乘法、多位数乘法、首位除数为一的除法、多位除数的除法、各种比例问题如计算利息、税收等。
其中“库司解税门”第七问题记有“今有税务法则三十贯纳税一贯”，同门第十、第十一两问中均载有“两务税”等，都是当时实际施行的税制。
朱世杰在书中的自注中也常写有“而今有之”、“而今市舶司有之”等，可见书中的各种数据大都来自当时的社会实际。因此，书中提到的物价包括地价、水稻单位面积产量等，对了解元代社会的经济情况也是有用的。
卷中共7门，71问。内容有各种田亩面积、仓窖容积、工程土方、复杂的比例计算等。卷下共5门，75问。内容包括各种分数计算、垛积问题、盈不足算法、一次方程解法、天元术等。
其中的主要贡献是创造了一套完整的消未知数方法，称为“四元消法”。这种方法在世界上长期处于领先地位，直至18世纪，法国数学家贝祖提出一般的高次方程组解法，才与朱世杰一争高下。
《算学启蒙》体系完整，内容深入浅出，通俗易懂，是一部很著名的启蒙读物。这部著作后来流传到朝鲜、日本等国，出版过翻刻本和注释本，产生过一定的影响。
《四元玉鉴》全书共3卷，24门，288问。书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关。
比如，四元的问题有7问，三元者13问，二元者36问，一元者232问。可见，多元高次方程组的解法即“四元术”是《四元玉鉴》的主要内容，也是全书的主要成就。
《四元玉鉴》中的另一项突出的成就是关于高阶等差级数的求和问题。在此基础上，朱世杰还进一步解决了高次差的招差法问题。这是他在“垛积术”、“招差术”等方面的研究和成果。
这些成果是我国宋元数学高峰的又一个标志。其中讨论了多达四元的高次联立方程组解法，联系在一起的多项式的表达和运算以及消去法，已接近近世代数学，处于世界领先地位，比西方早400年。
《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价。美国著名的科学史家萨顿称赞说道：
是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪的杰出数学著作之一。
他还评论说：
朱世杰是他所生存时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家。
如此之高的评价，朱世杰和他的著作都是当之无愧的。
朱世杰不仅是一名杰出的数学家，他还是一位数学教育家。他曾周游四方各地，并亲自编著数学入门书《算学启蒙》。在《算学启蒙》卷下中，朱世杰提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，补充了《九章算术》的不足。
总之，朱世杰在数学科学上，全面地继承了秦九韶、李冶、杨辉的数学成就，并给予创造性的发展，写出了《算学启蒙》、《四元玉鉴》等著名作品，把我国古代数学推向了更高的境界。
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